Для кого предназначен ЮФМЛ? | Правила поступления в ЮФМЛ | Положение о турнире | Подготовительные курсы | Математика | Физика | Турнир 2010 | Промежуточные итоги 2010

Вариант 1

1. По периметру сада растет 20 кустов смородины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 33 ягоды?
2. Найдите все трехзначные числа, которые в двенадцать раз больше суммы своих цифр.
3. Доказать, что при любом натуральном n > 1 справедливо неравенство: .
4. ВВ₁ и СС₁ - высоты остроугольного треугольника АВС, с углом А равным 300 . В₂ и С₂ - середины сторон АС и АВ соответственно. Докажите, что отрезки В₁ С₂ и В2С₁ перпендикулярны.
5. На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. Доказать, что на этой окружности можно найти такую точку, чтобы сума расстояний от нее до всех отмеченных точек была больше 100.
6. В трапеции АВСD диагонали пересекаются в точке Е. Площадь треугольника АВЕ равна 72, Площадь треугольника СDЕ равна 50. Найти площадь трапеции АВСD.

Вариант 2

Можно ли разбить числа 1, 2, 3, …, 30 на десять групп по три числа так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось сумме двух других?
1. Найдите все трехзначные числа, которые в двенадцать раз больше суммы своих цифр.
2. Доказать, что при любом натуральном n > 1 справедливо неравенство: .
3. На стороне BC прямоугольника ABCD существует точка M такая, что AMB= AMD. Найти эти углы, если .
4. На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. Доказать, что на этой окружности можно найти такую точку, чтобы сума расстояний от нее до всех отмеченных точек была больше 100.
5. Через две данные точки M и N внутри данного угла провести параллельные прямые так, чтобы их отрезки, заключенные между сторонами данного угла, относились как 3:1.